環球消息！用鏈式鎖子甲近似彼此接觸的正多邊形圖案
女士們，先生們，老少爺們兒們！在下張大少。
一個新坑，數學手工系列，希望老少爺們兒喜歡。
(資料圖)
很多藝術家喜歡用正多邊形創建圖案，并探索它們的屬性。隨著計算機圖形程序的出現，這變得更容易了。從Mac Plus上的SuperPaint開始，發展到iPad上的Graphic(同時使用CorelDraw的各種版本)，藝術家已經能夠在繪制過程中嘗試許多想法。
圓形跳環(金屬環，其兩端接觸但不連接)可以表現多邊形圖案，它是用完全由多邊形環組成的圖案完成的。在這種情況下，人們可以為每個多邊形環使用一個跳環。然而，許多圖案也有其他組件，所以相反，可以把每個多邊形解釋為一個單獨的跳環，就好像這個環代表了多邊形的輪廓。這類似于[2]中多邊形被表示為珠子的方式。
圖1：使用鏈式鎖子甲的規則多邊形圖案近似[3]：
(a)邊緣接觸的18邊形圖案，(b)相應的鏈式鎖子甲。
圖案轉換
讓我們考慮一種彼此接觸的正多邊形的圖案。這是有意義的，我們將能夠把多邊形均勻地分開，并且仍然得到一個“有效”的圖案。它基本上只是增加帶有邊框的圖案中每個多邊形的大小。這就是當我使用鎖子甲來表示圖案時所發生的情況；正多邊形由主跳環的內部表示，額外部分由連接環的內徑跨越。
使用內徑盡可能小的連接環(這樣它們將幾乎不環繞兩個主環)將產生接近原始多邊形圖案的片。多個量規可用于相同模式的主環，只要它們都具有相同的內徑，并且它們安裝在連接環內。如果我們沿著連接器定義的平面看一條線段，我們可以看到一個類似于將圖案轉換為珠子鉤針時使用的針腳的圖案[2]。
圖2：轉換邊接觸多邊形的模式以用于跳躍環:
(a)邊緣接觸的18邊形圖案，其中心圖案被鏈條代替[3]，
(b)圖案的放大樣本。
(c)進一步放大一些18邊形，
(d)多邊形內切圓和相鄰圓的中心相連的樣品，
(e)進一步放大相同的18邊形及其內切圓，
(f)對應于樣品的鏈狀件的放大部分，
(g)進一步放大對應于18邊形的環。
圖3：進行中的工作[3]：(a)18邊形的圖案，(b)帶有跳環和鉗子的部分完成的部分，(c)大部分完成的部分，(d)過程中的一些步驟。
環
在某些情況下，我自己制作跳環，而不是購買。為了得到精確大小的內徑，我發現編織針提供了易于獲得的軸來纏繞電線。在作業一段之前，我打開了一些較大的主環，并關閉了一些較小的連接環。將主環鉤在適當的位置，并在其上添加適當數量的連接器環，而不是將每個環都關閉，這更容易(圖3b)。
展示
環在某種程度上是自由移動的，所以最終的鎖甲甲片可能不完全匹配原來的圖案，但有很多方法可以解決這個問題。一個相對簡單的選擇是使用鋼環(不是不銹鋼)，這樣工件就可以排列在磁性片上。
另一種方法是在多邊形環的后面或里面添加額外的更大的環，使它們保持大致的圓形排列。或者，可以添加特定尺寸的附加環來將部件組合在一起。在圖2的鏈甲部分，添加了一些橢圓環，將部分捏在一起，以匹配原始的多邊形圖案。
當然，它們也可以被縫制或釘在布料或軟木襯墊上。但它也可能被證明是一種美學上令人愉悅的混合安排，將織物或其他材料附著在多邊形環和其他有趣的結構后面，留下其他區域。
圖4：使用珠子連接：(a)多邊形圖案，(b)用圓環表示多邊形和珠子表示公共邊，(c)珠子和圓環的特寫。
圖5：作為連接器的線圈和彈簧:
(a)由裝訂環和切割裝訂線圈制成的3D形狀，
(b)來自圖4的圖案，使用環作為多邊形，彈簧作為共享邊，
(c)圖5b的特寫。
一些變化
沒有必要使用圓形連接環；長方形的環也可以。甚至可以用一個或兩個孔的珠子代替連接環，仍然可以連成圖案(圖4)。對于只有一個孔的珠子，線的規格必須足夠細以穿過孔兩次。因此，珠子(邊緣)的圖案可以支配環(多邊形)的圖案。如果我用非常小的珠子來做，最終的作品可能會太精致而無法粗略處理。
線的規格可以變化，以此強調圖案。如果開口和長度大小合適，可以用小彈簧或線圈代替連接環，就像我用大裝訂環和裝訂線圈制作三維圖形一樣(圖5)。
圖6：使用不同類型的鏈接適應等邊線段圖案
總之，鏈式鎖子甲通常包含更多復雜的環(或鏈環)如何編織在一起。幾何學家可能會對Frank Farris使用鏈式郵件[1]將非平面鏈接用于形成壁紙圖案感興趣。
參考文獻
[1] F. Farris. “Wallpaper Patterns from Nonplanar Chain Mail Links.”?Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 1-5, 2020, pp. 183-190.?http://archive.bridgesmathart.org/2020/bridges2020-183.html
[2] R. Sunder-Raj. “Approximating Edge-Touching Regular Polygon Patterns Using Crocheted Bead Lace.”?Bridges Conference Proceedings, Online, Aug. 2-3, 2021, pp. 281-284.?http://archive.bridgesmathart.org/2021/bridges2021-281.html
[3] R. Sunder-Raj. “Chain Maille From Patterns of Regular Polygons.” 2021.?https://twitter.com/i/moments/ 1498453083180908548
[4] Rashmi Sunder-Raj, Approximating Edge-Touching Regular Polygon Patterns Using Chain Maille
